Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Математический понедельник: многогранник, часть вторая - промежуточные формы

Сегодня мы применим некоторые методы, подробно описанные в прошлый раз, чтобы найти многогранники в еще нескольких овощах и фруктах, начиная с этой репы. Как и хурма, она довольно приземистая, но на этот раз мы также готовы к немного более интересному испытанию. Поэтому естественным кандидатом является правильная пятиугольная антипризма, другое вершинно-транзитивное тело.

Как и гексагональная призма последнего времени, она имеет две самые большие грани в параллельных плоскостях, поэтому мы начнем так же с двух важных отличий. Во-первых, нам нужно посмотреть в Интернете, каково соотношение высоты и длины ребра правильной пятиугольной антипризмы; получается, что длина ребра равна √10 / √ (5 + √5), или примерно в 1,18 раза больше высоты. Поэтому, сделав первый плоский разрез, я мог определить, что в репе осталось около 3,5 см полезной высоты, что подразумевает длину края пятиугольного основания 4,13 см. Распечатав пару обычных пятиугольников с такой длиной ребра, я обнаружил, что они, к счастью, хорошо вписываются в горизонтальное сечение.

Второе отличие состоит в том, что после того, как вы сделали два параллельных плоских разреза, вам нужно выровнять пятиугольники с каждой стороны с вращением на одну десятую оборота относительно друг друга. Другими словами, вместо того, чтобы выровнять их точно так же, как с призмой, каждый угол одного пятиугольника должен быть точно направлен к середине края пятиугольника на другой стороне. Самый простой способ сделать это - пометить центры каждого пятиугольника, который все еще будет выровняться по одному центру вертикально над другим, и протолкнуть булавку вертикально через плод, а затем совместить два центра на булавке. Затем поверните их так, чтобы они были точно посередине между выравниванием.

Теперь вы можете проследить пятиугольники с обеих сторон вашей репы. Но обратите внимание, что срезы для плоскостей равностороннего треугольника экваториальных граней антипризмы не будут идеально вертикально вертикальными - они чередуются с небольшим наклоном и слегка наклонными, если смотреть сверху. Таким образом, ваша направляющая линия для первого разреза должна уважать это; рассмотрите вдоль одного края верхнего пятиугольника и сделайте все возможное, чтобы нарисовать линию на стороне репы, которая, с этой точки зрения, пройдет прямо перед одним из углов нижней грани тела. Теперь сделайте плоский срез вдоль нарисованных вами направляющих. Вы будете знать, что все хорошо, если вы сделали плоский разрез, который проходит через выбранный край верхнего пятиугольника и одну вершину нижнего пятиугольника; есть только одна плоскость, которая делает это, и это плоскость, в которой лежит одна из экваториальных граней пятиугольной антипризмы.

После этого процедура остается такой же, как и раньше: нарисуйте один из краев выбранной треугольной грани на месте на плоскости, которую вы только что вырезали, и используйте этот край и смежный пятиугольный край (на том, что было дном антипризмы для первый срез), чтобы срезать плоскость смежной треугольной грани.

Продолжайте в том же духе вокруг экватора антипризмы; ниже вы можете увидеть, как это выглядит перед финальным срезом и когда он завершен.

Следующей в очереди была вырезана эта груша. Поскольку он сужается до точки на вершине, он предлагает вырезать правильную пятиугольную пирамиду, одно из твердых тел Джонсона. У меня было еще несколько пятиугольников, и они соответствуют поперечному сечению у основания пары, поэтому я просто повторно использовал их для этого многогранника.

Как и прежде, вам нужно найти высоту правильной пятиугольной призмы; оказывается, что √ (5-√5) / √10, или около 0,526, умножить на длину ребра пирамиды. Учитывая, что мои шаблоны пятиугольника имели длину края около 4,1 см, мне нужно было резать грушевидную плиту высотой около 2,2 см.

Поскольку на этот раз мы строим пирамиду, вы можете положить пятиугольник на одну сторону и сразу же разрезать вертикально вдоль каждого края - разрезы не обязательно должны быть идеально вертикальными, так как мы будем удалять большую часть материала с другой сторона в любом случае. Это облегчает выравнивание другого пятиугольного шаблона на другой стороне, чтобы найти центр противоположной стороны, которая будет вершиной пирамиды.

Теперь мы готовы разрезать треугольные грани пирамиды. Глазное яблоко - ваш первый ориентир, прицеливаясь вдоль одного края основания, чтобы пробежать от перед вершиной до угла этого края, ближайшего к вам. Сделав этот разрез, вы можете нарисовать один из краев треугольной грани в этой плоскости, от вершины до одного из углов основания, и использовать его в качестве ориентира для следующего разреза. Обходите путь, и за пять шагов от вершины вниз ваша пятиугольная пирамида завершена.

Приятным бонусом использования пятиугольника одинакового размера для репы и пары является то, что затем два многогранника складывают большую часть правильного икосаэдра (нам понадобится еще одна пятиугольная пирамида для дна, чтобы завершить полный икосаэдр).

Последний фрукт на этой неделе - азиатская груша. Поскольку он толстый в середине и сужается к обоим концам, и уже имеет примерно пятиугольную форму, он не предлагает ничего более точного, чем пятиугольная бипирамида.

Эта резьба, документированная на рисунках ниже, представляет собой двойную грушу. Вы должны разрезать плиту в два раза толще (обратите внимание, что я пометил самую толстую часть пары как центр ее высоты и измерил половину высоты справа от нее, прежде чем разрезать первый срез, а затем измерил всю высоту вокруг, как обычно и вырезать, чтобы завершить плиту).

Затем вы выравниваете пятиугольники с обеих сторон (на этот раз мне пришлось использовать шампур, а не иглу, потому что плита была слишком высокой для иглы) и вырезать высокую пятиугольную призму. Отметьте центры верхнего и нижнего пятиугольников и средние точки каждого вертикального края, которые являются экваториальными вершинами возможной бипирамиды. Теперь у вас есть отметка в каждой вершине окончательного вырезания, в ее фактическом местоположении в пространстве. Завершение просто включает рисование руководящих принципов, которые следуют за плоскостями, соединяющими три вершины ближайшего соседа и разрезающими вдоль тех плоскостей.

Он разбивается на два набора по пять надрезов для «верхней» и «нижней» пирамид, каждая из которых эквивалентна тому, что мы сделали для грушевой пирамиды.

В следующий раз: псевдоархимедовы, каталонские и изящные тела!

Поделиться

Оставить комментарий