Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Математический понедельник: Продвинутый фрукт Полиэдра

На этой неделе доступны более сложные многогранные формы с 38 лицами, основанные на навыках, разработанных в течение последних двух частей.

Наш первый предмет - это айва, большой, густой, твердый фрукт. Это предполагает твердый, блочно-выглядящий многогранник, такой как ромбикубоктаэдр. Но для дополнительного поворота (в буквальном смысле) мы будем вырезать псевдоромбикубоктаэдр, который выведет нас из архимедова в твердое тело Джонсона.

Подход к вырезанию этого многогранника состоит в том, чтобы использовать тот факт, что его проекция во всех трех ортогональных направлениях представляет собой правильный восьмиугольник. Другими словами, мы можем начать с вырезания восьмигранной призмы высотой и ширины, а затем вырезать из этого псевдоромбикубоктаэдр (сокращенно PRCO).

Более того, каждая восьмиугольная проекция имеет квадратную грань с центром в ней. Таким образом, правильный шаблон, который вам нужен, - это квадрат в восьмиугольнике - вы можете скачать его и распечатать в различных масштабах, пока не найдете тот, который хорошо соответствует размерам вашего фрукта. Сделайте первый плоский разрез и оцените, какой размер использовать в полученном поперечном сечении, помня, что ваша законченная скульптура будет точно такой же высокой, как и широкая.

Обратите внимание, что в этом случае все в порядке, если углы шаблона немного расширяются за фактическое поперечное сечение разреза сверху и снизу, при условии, что основная часть плода проходит за границы шаблона, поскольку действует PRCO. скошенный и поэтому материал возле угла будет все равно обрезан. В любом случае, принимая во внимание эти соображения, вы можете начать с резки восьмиугольной призмы как можно выше.

Затем убедитесь, что у вас есть квадратно-восьмиугольные шаблоны, выровненные по двум восьмиугольным концам, с квадратами, повернутыми на 45 градусов друг от друга (вот что помещает псевдо-псевдоромбикубоктаэдр; если вы выровняете их, вы получите просто ромбическийубоктаэдр ). Отметьте вершины квадратов, а затем используйте дополнительные шаблоны квадрата в восьмиугольнике, чтобы отметить вершины квадратов в середине каждой из высоких прямоугольных граней.

Теперь пришло время начать резать оставшиеся грани PRCO. Проще всего начать с плоскости одной из наклонных квадратных граней, соединяющих верхнюю грань и одну из боковых квадратных граней, поскольку эта плоскость встречает смежный высокий прямоугольный край призмы по диагонали, которая проходит от верхней вершины призмы (это в конечном итоге будет вырезано) до одной из возможных вершин многогранника на стороне призмы, как показано. Затем обрежьте вдоль этой линии и линии, соединяющей две вершины верхнего квадрата. Как обычно, после того, как вы сделали этот первый разрез, легко сделать все срезы вокруг вершины, последовательно рисуя фактические края возможного многогранника, а затем используя их как ориентиры для нарезки. Когда вы закончили верхний раунд срезов, переверните его и точно повторите процесс на другой стороне, начиная с того же первого среза, пока не дойдете до последнего среза.

Когда вы закончили этот последний срез, вы получили PRCO, показанный здесь в ориентации, которая демонстрирует «псевдо» -нессность: есть горизонтальный ряд граней треугольник-квадрат-квадрат, который не может произойти на обыкновенный ромбоубооктаэдр.

Наша следующая скульптура будет моим личным любимым архимедовым телом, куском куба.

Поскольку мы еще не вырезали яблоко, а вырезание яблок было одним из вдохновителей всего этого предприятия, было целесообразно использовать это особенно большое гала-яблоко. Как и в PRCO, мы будем использовать эту ортогональную проекцию куба-куба и тот факт, что он вписан в обычный куб для вырезания куба-куба. Начните с вырезания яблока в куб (или почти куб, поскольку опять же нам не нужен материал в самых углах куба) с длиной стороны, равной ширине проекции (которую вы должны распечатать шестью копиями Масштабируется до вашего яблока). Затем наклейте по бокам вашего яблока шесть шаблонов; они должны касаться друг друга по краям.

Отметьте четыре вершины небольшого внутреннего квадрата на каждой из шести сторон. Важно: обратите внимание, что на ортогональной проекции есть два внутренних квадрата. Делать определенный что вы используете одинаковую ориентацию внутреннего квадрата с каждой стороны. Я использовал тот, который немного наклонен вправо вверху квадрата. Использование другой ориентации на каждой стороне привело бы к не накладываемому зеркальному отображению этого куба-пробки (т.е. есть две зеркальные формы куба-пробки, которые не эквивалентны в трех измерениях). Использование смеси ориентаций приведет к путанице и хаосу (и, следовательно, к трудностям при выполнении резьбы). После того, как вы отметили все углы этих квадратов, вы фактически определили каждую вершину куба-пробки в ее фактическом конечном местоположении в пространстве.

Следовательно, все, что остается, - это срезать плоскости, которые соединяют три вершины ближайших соседей одновременно. Вы можете скопировать соответствующие ребра из ортогональных проекций на начальный яблочный куб и использовать их как ориентиры для начальных разрезов. Но, как и в случае с предыдущей резьбой, после того, как вы сделали один срез, он предоставит дополнительные ребра между вершинами, которые вы можете просто нарисовать в их правильном положении, а затем использовать в качестве руководства для дополнительных срезов.

Время от времени у вас заканчиваются грани, у которых уже есть срезанная смежная плоскость, и вам нужно будет проецировать другую направляющую на материал, который будет вырезан. Как обычно, ниже вы можете увидеть, как он выглядит перед самым последним разрезом и когда завершается сборный куб.

Для окончательной многогранной скульптуры в серии мы собираемся превратить этот почти идеально сферический цуккини в ромбический додекаэдр, который не является архимедовым твердым телом, а вместо этого является двойным из одного, так называемое каталонское твердое тело.

Для разнообразия он также добавляет многогранник, грани которого не являются правильными многоугольниками.

Метод вырезания снова основан на его ортогональной проекции; распечатайте четыре копии размером с ваш фрукт или овощ. Вы можете сделать призму формы проекции, столь же высокой, как и проекция. Отметьте вершины в верхней и нижней проекциях; и тогда остальные вершины состоят именно из середин каждого из вертикальных ребер. Если вы нарисуете края, которые лежат на гранях, которые вы уже вырезали (которые состоят из четырех центральных ребер ромба сверху и снизу и двух центральных боковых граней), вы обнаружите, что есть два непараллельных ребра каждого лицо последнего ромбического додекаэдра отмечено. Таким образом, у вас есть все рекомендации, необходимые для завершения вашей резьбы.

С техникой из этой серии по многогранной резьбе, вы должны иметь возможность попробовать множество различных многогранников с видами на ваш выбор. Когда вы создаете что-то прекрасное (и, может быть, тоже вкусное!), Поделитесь фотографией с [email secure].

Поделиться

Оставить комментарий